有两道关于微分中值定理的题目想不明白
如果f是一次函数 ， 结论显然 。 下面假设f不是一次函数 。
令AB是通过A (a, f(a))和B (b, f(b))的直线 ，
k = [f(b)-f(a)]/(b-a) 是 AB 的斜率 ， 若k=0 ， 结论显然 。
下面假设k非0 。
因为f不是一次函数 ， 所以总可以找到x0 ， 使得
f'(x0) = k 而且 P=(x0,f(x0))不在AB上 。
也就是说 ， 函数图像通过P的切线L平行于AB ， 且
L和AB不重合 。
不妨假定 L 在 AB 的上方 ， 也就是说 ， 不妨假定
f(x0) > f(a)+k(x0-a)
定义函数
【有两道关于微分中值定理的题目想不明白】 g(x) = [f(x)-f(x0)]/(x-x0), x不等于x0
且 g(x0) = k ， 显然g连续
由上面的不等式 g(b) < k < g(a)
由介值定理 ， 区间I=(g(b), g(a))包含于g((a,b)).
在I中, 因为k属于I ， 在k附近取k1 ， 使得k1
仍然属于I 。 则k2 > k且 k1*k2 = k^2
所以存在 x1, x2属于(a, b)使得 k1=g(x1)且k2=g(x2)
再使用中值定理 ， 就得到存在x3, x4属于(a,b) ， 使得
f'(x3)=g(x1), f'(x4)=g(x2) ， 就得到
f'(x3)f'(x4) = k^2
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